Родился в г. Улан-Удэ. Учился в СОШ №47, которую в 2005 году окончил с серебряной медалью. Поступил во ВСГУТУ, и по окончании вуза стал по контракту служить в Росгвардии. Сначала был командиром взвода, а в 2020 году получил офицерское звание и был назначен начальником разведки подразделения оперативного назначения Восточного округа войск национальной гвардии РФ.

С первых дней Максим Андреевич участвовал в спецоперации на Украине, и там совершил поистине героический поступок. Об этом подвиге рассказали в пресс-службе Росгвардии РФ. В сообщении ведомства говорится, что «в ходе проводимых спецмероприятий была получена информационная сводка о местоположении разведывательно-диверсионной группы националистов, передвигавшихся по местности». И тогда «навстречу противнику была выдвинута разведгруппа», которую возглавил улан-удэнец Максим Концов. «После обнаружения противника, разведгруппа, возглавляемая Концовым вступила в бой, и он лично подавил основную огневую точку действовавших националистов», тем самым «обеспечил проведение быстрого маневра по окружению вражеской диверсионной группы». На передовой, в сложнейшей боевой обстановке «лейтенант Концов сумел обнаружить и уничтожить вражеского гранатомётчика, что помогло избежать потерь возглавляемой им разведгруппе, однако сам он получил несколько ранений». Но, несмотря на ранения, офицер-разведчик Максим Концов не покинул поле боя: «продолжал руководить своим подразделением, и это позволило разобраться с диверсионной группой противника: основная масса была «денацифицирована», и несколько человек взяты в плен». Так, «благодаря проявленному мужеству и храбрости Максима Концова, сумевшего вызвать основной огонь противника на себя», были спасены его товарищи. И «разведчики Росгвардии по итогу проведенной операции захватили крупный схрон оружия националистов и боеприпасов». Максим Концов «предотвратил еще и жертвы среди мирного населения, потому что движение разведывательно-диверсионной группы было спланированным, и не только захвачен их склад с вооружением, но и спасены мирные жители, и Максим, будучи раненым, не уходил с линии огня, он прикрывал товарищей, продолжил руководство, стоял до конца: настоящий подвиг, настоящий геройский поступок».

К сожалению, спасти жизнь раненному лейтенанту Максиму Концову не удалось. Указом (закрытым) президента России от 4 апреля 2022 года Максиму Андреевичу Концову присвоено звание Героя Российской Федерации (посмертно). 14 апреля 2022 года в Улан-Удэ родным (вдове и родителям) офицера-разведчика, павшего смертью храбрых в бою в ходе выполнения спецоперации, передали медаль «Золотая Звезда» к званию Героя Российской Федерации, удостоверение к награде и Грамоту о присвоении звания. Его со всеми воинскими почестями похоронили в г. Улан-Удэ. При погребении была проведена церемония складывания полотнища Государственного флага Российской Федерации, и сложенный флаг торжественно передали на вечное хранение родителям Героя.

9 декабря 2022 года в г. Улан-Удэ установили мемориальную доску на здании СОШ №47, где учился Герой России. А ранее, в апреле 2022 года на экстренном заседании Совета краповых беретов Сил специального назначения принято решение о вручении знака особого отличия спецназа Росгвардии – крапового берета - семье лейтенанта Максима Концова. Краповый берет Максима передали его вдове. Лейтенант Максим Концов навечно зачислен в списки личного состава отдельного батальона оперативного назначения, а его подвиг вписан в историю войск национальной гвардии. В июне 2022 года именем Героя России Максима Концова названа улица в микрорайоне Таежный в г. Улан-Удэ. В 2023 году на территории школы в г. Улан-Удэ установили бюст Максиму Концову. А в июне 2024 года в г. Хабаровске, на территории воинской части, где служил Герой, установлена мемориальная доска в его честь.

Герой Российской Федерации
Медаль МВД России «За воинскую доблесть»
Медаль «За ратную доблесть»
Медаль «Участнику контртеррористической операции на Кавказе»
Нагрудный знак ВВ МВД России «За отличие в службе» I степени
Нагрудный знак «Участник боевых действий»
Нагрудный знак «200 лет внутренним войскам МВД России»
Знак классной квалификации «Специалист 1-го класса»